Bonjour aux amateurs de paradoxes,
Et merci à Philippe et Paul pour les commentaires détaillés et les références bibliographiques .
Le sujet est en effet très
riche, et il mérite d’y passer du temps, mais, pour moi, le confinement est
plutôt synonyme de restriction drastique de mes temps de disponibilité, et je
dois remettre à plus tard une analyse détaillée, mais je ne peux m’empêcher
quelques remarques, le principe des paradoxes m’ayant toujours passionné !
Dans les années 70, j’avais
ainsi constitué un bestiaire d’un certain nombre de paradoxes techniques, mais
n’avais pas tellement accroché au paradoxe de Bertrand avant de tomber, beaucoup plus tard, sur le
texte de Harthong : son approche claire et naturelle
explicitait les choses dans les cadres classiques des probabilités, et plus
généralement de l’analyse, en suivant Bertrand, mais la position de Borel présentait aussi des idées novatrices.
Pour ma part, j’ai une vision modélisatrice, et ce qui me frappe est que chaque acteur propose des explications au paradoxe pertinentes, avec une optique personnelle, et des commentaires épistémologiques différents, mais qui ne s’opposent pas fondamentalement, càd que si l’on met de côté les développements purement techniques (qui ne sont d’ailleurs pas nécessaire pour traiter le problème), il n’y a pas deux auteurs dont les positions soient réellement antagonistes, mais seulement la cause de conclusions divergentes dues généralement à des acceptions des termes qui ne se recouvrent pas.
Il faudrait bien sûr détailler point à point leurs descriptions, mais il est plus simple que j’esquisse la trame commune derrière leurs développements, en utilisant un contexte moderne orienté vers l’aspect informationnel, et donc mettant l’accent sur les propriétés algébriques formelles, et une mise en forme de style constructif (utilisé en algorithmique).
Continu à discret
Concernant le passage stratégique du continu au discret, pour chaque méthode de Bertrand, on peut remplacer le continuum par une suite connexe de segments de même longueur, connectés et numérotés :
- Remplacer le cercle par un polygone ayant les mêmes invariances de rotation que le triangle (possédant donc 3n côtés), ou par la décomposition du cercle en ses segments circulaires correspondant ;
- Remplacer le rayon continu par une succession de segments (3n, par ex.) ;
- Même chose qu’en 1, avec deux polygones à 3n côtés, le second étant inscrit.
Le tirage se fait alors sur l’index du segment : les
symétries mènent aux mêmes disparités de résultats qu’avec le continu.
A noter, que même lorsque la probabilité est supposée être sans trous (i.e. sur
espace continue), les principes d’intégration utilisée dans les techniques
souvent présentées se fondent sur un principe de convergence, et concerne donc
implicitement toujours une quantité dénombrable pour échantillon théorique :
même s’il converge, il le fait donc comme le fait une suite d’expériences de
type Bertrand discrètes avec n passant à la limite. Alors qu’une véritable
théorie des probabilités du continu devrait permettre d’analyser des
probabilités de distributions (au sens de Schwartz) ou de fractals : il
est d’ailleurs doublement amusant de constater que parmi les initiateurs des
distributions figure Poincaré – traité par ailleurs de conventionnaliste –
comme s’il s’agissait d’une position sans objet – alors que c’est, par ailleurs, sa
considération de la mécanique quantique, qui le mène à relativiser modèles et
expériences, et établir sans coup férir qu’il n’existe pas de conditions
d’absence de cette transition vers la formalisation (ou bien on retombe dans
tout ce qui est soi-disant « naturel » : physique classique,
géométrie euclidienne, logique classique, etc., en refusant d’envisager
d’autres possibilités, considérées comme non naturelles celles-là. On sait
maintenant ce qu’il en a été pour les exemples précédents, mais ils ne sont pas
uniques).
On peut également remplacer les cercles et le rayon par
leurs restrictions à leurs points rationnels, ou bien décimaux ; par
exemple : là encore, les symétries mènent aux mêmes conclusions.
Le principe du paradoxe n’est donc pas lié au cardinal de l’ensemble support.
Ensuite, pour comparer les topologies précédentes et voir
immédiatement où se situe le problème des différentes répartitions de densités,
il suffit d'en reprendre les exemples avec un nombre réduit de points,
et de passer d’un modèle à l’autre par projection : si je passe de la
répartition 1 à la 2, il suffit de projeter les points de 1
sur le rayon de 2, perpendiculairement au dit rayon. On voit alors que
la densité des premiers est minimale quand le segment de cercle est plus
orienté parallèlement au rayon, et maximal quand il est perpendiculaire (Si
l’on passe à un support infini, on a même ici un point d’accumulation). Et vice
versa s’il l’on passe du 2 au 1.
Dans l’affaire, il n’est ni besoin de recourir à des techniques d’intégration
spécifiques, ni même de recourir à de l’analyse mathématique pour expliciter
les mécanismes du paradoxe.
Et d’ailleurs, introduire une mesure n’est pas une
nécessité, seulement une facilité mathématique, et donc pas une bonne réponse
philosophique qui se doit de faire remonter les justifications au niveau
supérieur, càd des propriétés globales ou d’ensembles, généralement des
symétries ou invariances (Ce que décrit d’ailleurs bien Borel). De plus,
introduire une mesure, ce n’est pas permettre de déterminer une probabilité sur
un ensemble de cardinal infini, mais seulement reporter la finitude sur un
intervalle fini, certes de cardinal transfini, mais de mesure, elle, toujours
finie : d’ailleurs, on ne peut, par cette approche, travailler sur des probabilités
opérant sur des intervalles de longueurs infinies ; j’insiste sur ce point
déterminant : introduire une mesure ne sert à rien d’autre qu’à retrouver
des variables finies, en l’occurrence, donnant des longueurs finies d’ensembles
de points connexes transfinis, càd se retrouver dans la position où l'on trait d’ensembles de
points dénombrables.
Or, si ce qui précède est mathématiquement manifeste depuis
Cantor, les concepts attachés au langage vernaculaire pourraient sembler plus
larges que ne le permettent ces formalisations : on peut toujours imaginer
de nouveaux modèles à des représentations mentales peu contraignantes. Mais
cela ne peut alors valider par défaut toutes remarques qui auraient un pied
dans chaque monde, et donc des faces non nécessairement compatibles du
problème. Or, c’est systématiquement le cas avec les paradoxes, et on voit bien
que l’optique d’un Borel ne coïncide pas avec celle d’un Bertrand, le premier
disposant des outils manipulant les probabilités de manière si naturelle qu’il
en vient à oblitérer l’équivalence formelle des différentes interprétations
pour en établir une hiérarchie, alors que le second, neutre sur
l’interprétation, reporte le schisme sur la continuité.
Dans les deux cas, il s’agit d’à priori de perspectives qui ne passent
pas le test des comparaisons entre modélisations, validant les deux approches,
mais pas les commentaires qui leurs sont appliquées.
Carré d’intervalle…
Le thème d’une probabilité sur le carré d’un intervalle est
bien de ceux-là dès lors que l’on prétend équivaloir espace de probabilité sur
un ensemble fini (par ex. entiers de [0, 100]), et un intervalle rationnel,
décimal ou réel, par ex., en voulant le considérer comme infini : mais si
tel est le cas, il est impossible de définir un espace des probabilités
respectant l’équiprobabilité (à moins de passer dans des théories outrepassant
le probable intuitif, par ex. fractales). Ce qui rend l’interprétation naïve
d’une « probabilité » prétendument de ¼ pour un réel de [0, 100²]
d’être inférieur à 25² comme incohérente ; mais de deux choses
l’une : ou l’on parle seulement de cardinaux, et le terme
« inférieur » n’a aucun sens dès lors qu’une ordinalité n’a pas été
définie sur les réels, et parler de probabilité finie n’a donc pas de sens non
plus, puisque les « chances » de tirer un réel donné sur un
intervalle quelconque non trivial sont… nulles, mais parfaitement conservées
par n’importe quel changement d’intervalle, fut il non linéaire. Ou bien l’on
parle de probabilité comme de tailles relatives entre intervalles, ce qui se
passe en passant aux mesures sur ceux-ci, et la probabilité ne se conserve plus
par les opérations qui ne les conservent pas (Ce qu’explicite l’axiomatique de
Kolmogorov). En fait, c’est aussi implicitement ce que l’on réalise sur les entiers :
un entier seul est vu comme un ensemble de cardinal 1, mais, ce qui change
tout, c’est que l’union de parties de N augmente les probabilités en
proportion du cardinal de cette union, ce qui n’est pas le cas avec des
ensembles infinis (merci Cantor), ou avec des transformations non linéaires (Comme l’indique
Bangu (1) et bien d’autres).
Pour résumer ce point, si l’on ne respecte pas les conditions imposées par
l’axiomatique de Kolmogorov, on n’a pas plus de chances d’y être cohérent que
dans n’importe quelle autre structure formelle pour lesquelles on viole les
principes, et vouloir superposer les conséquences supposées toutes
identiquement « probabilistes » – càd supposées gouvernées par
des lois communes sur un même espace de variables (ou « être un même
problème » : le cas du cube de van Fraassen est éloquent) –
est une erreur typique d’une conception seulement intuitive, mais supposée
capturer tous les aspects d’un thème : on est vraiment là dans une erreur
prototypique centrale observable en épistémologie, celle de croire que
l’intuition est un outil valide et donc fiable, càd de croire en
la pertinence logique des objets platoniciens, sans les avoir validés
formellement a posteriori.
Et on voit là l’intérêt général de l’approche informatique : la preuve de validité
est établie explicitement en exhibant un programme prouvé implémentant la
réponse opérationnelle à la question. Toute ambiguïté liée à une pensée
informellement insuffisante ou contradictoire tombe alors d’elle-même. Et ceci
inclut la phase reprochée à Poincaré et qualifiée de conventionalisme,
qui n’est autre que celle révélée lors du passage de l’expérience (réelle, ou
de pensée) à la modélisation proprement dite, et que l’épistémologie met en
question : et les débuts de l’i.a., avec le point d’achoppement principal
que représentait l’accouchement des experts, furent particulièrement
éloquents à cet égard, avec une débandade d’experts non en mesure de justifier
leurs positions.
Et je ne m’étendrais pas ici sur cela, mais je prétends
personnellement que la philosophie concernant une science bien formée peut,
elle aussi, prendre une forme scientificisée au minimum aussi solide que
l’objet considéré, en s’appuyant sur ses modèles et en en considérant les
propriétés fondamentales révélées par les modélisations utilisées, ceci étant
rendu possible par l’élimination des infinis non dénombrables en acte comme les
supposent l’ensemble des sciences de la nature aujourd’hui.
…& cube de van Fraassen
Le cas de ce cube est encore
plus manifeste : l’énoncé ne détaillant pas la répartition des longueurs d’arêtes, le principe d’information complète entraine une modélisation avec
une distribution uniforme de celles-ci ; et en aucun cas des distributions
imaginées sur un objet quelconque qui ne serait pas nommé explicitement dans
l’énoncé, tel que l’aire d’une face ou le volume du cube.
L’énoncé précise seulement un intervalle de dimensionnement des cubes produits dans [1, 2] ; le principe d’information complète amène donc à conclure qu’on ignore tout par ailleurs, et les cas suivants sont compatibles avec cette affirmation que l’usine n’a produit que des cubes de côté :
- un ;
- deux ;
- π/2 ;
- entier ;
- répartie uniformément dans [1, 2] ;
- répartie de manière imprévisible dans [1, 2] ;
- etc.
En toute rigueur, favoriser un choix, c’est prendre parti
arbitrairement… ou exploiter des données non spécifiées par l’énoncé :
dans le premier cas, on fait de la psychologie, dans le second de la…
manipulation.
Paradoxes probabilistes
Et, si, comme tous les commentateurs des paradoxes
probabilistes l’ont indiqué, il y a bien une difficulté pour conceptualiser une
probabilité dans un tirage sur un ensemble infini, il a été in fine
traité complètement par l’axiomatisation de Kolmogorov. La difficulté étant
bien sûr de maintenir la propriété d’équirépartition, intuitivement nécessaire
dans les propriétés que l’on assigne au terme de probabilité, et qui
impose donc l’équiprobabilité dans l’ensemble de référence, ainsi qu’un langage
commun permettant de maintenir le concept sur les ensembles de cardinaux tant
finis qu’infinis. Mais le paradoxe de Bertrand spécifiquement existe
indépendamment de ce point, même s’il est important par ailleurs.
Le sujet a aujourd’hui migré sur des questions de bon ordre, vers des conceptions par distributions ou fractales sur lesquelles on revient à une approche discrétisée, mais à travers une fonctionnalisation qui rend explicite répartition spatiale et densité, et qui répond bien à la demande du principe d’indifférence ; et ce, sans ambiguïté d’ordre intuitive.
Aujourd’hui, si le paradoxe de Bertrand reste un amusement contre-intuitif, mais plus, mathématiquement, réellement problématique, le ressort profond de la question demeure toujours discuté dans le cadre des applications des mathématiques, et plus particulièrement en physique mathématique pour laquelle certains logiciens commencent à voir que si la densité y reste pertinente, la dénombrabilité y est suffisante, ce qui change tout au niveau des conséquences à la fois épistémologique et philosophiques, car la physique devient alors décidable, avec toutes les conséquences qui en découlent (dont la déterminisme : le chaos lui-même le devenant ; ce qui autorise alors de penser techniquement, et donc sans biais intuitif, tous les sujets en découlant, càd toutes les sciences de la nature).
Or, lorsqu’on lit les différents protagonistes à propos du
paradoxe de Bertrand, ce que cache leurs disparités d’avis, ce n’est pas tant
ce qu’ils évoquent eux-mêmes explicitement, mais bien un savant mélange entre
ce point fondamental des invariances et les errements que laissaient ouverts
l’absence d’une axiomatique bien ficelée à propos du concept intuitif de
probabilité ; celui-ci n’est en effet pas visible identiquement selon
notre perspective disciplinaire : aujourd’hui, en informatique par
exemple, aleph zéro est omniprésent, et le hasard prend une autre forme, mais
son explicitation formelle rencontre les mêmes voies, à savoir celles permises
par le paradis que Cantor a créé pour nous, n’en déplaise à Kronecker…
qui a pourtant anticiper l’approche discrétisée et la suffisance de la
finitude. Comme quoi, rien n'est aussi tranché qu'il peut paraitre.
Mes analyses sur les principes mis en jeu
Et, ce qui m’avait déjà étonné à l’époque concernant toutes les explicitations du paradoxe de Bertrand était une triple absence :
- Du respect du principe de parcimonie dans les arguments employés, alors que la résolution du paradoxe ne demande que de considérer des propriétés de symétries et d’invariances sur des sous-ensembles (supports discrétisables) ou des intervalles (supports continus), sans recours ni aux cardinaux des espaces supports, ni à une technicité en rapport avec des évaluations fines de probabilités, donc d’intégration ;
- La non-évocation du point clef de la non-énumérabilité (ce qui n’est plus vrai à partir de l’approche en tribus de/par Borel) des évènements considérés qui rend nécessairement implicite de considérer tout espace de probabilité sous son aspect métrique (qui exclut alors toute considération de cardinalité dénombrable, en particulier sous transformations ne maintenant pas l’euclidianité de la métrique, sans laquelle il n’y a plus de probabilités, du moins dans l’approche classique) ;
- L’absence
de distinction entre réels et réels récursifs (ou même, plus simplement,
décimaux) alors même que la densité était au cœur du problème (Il est vrai que
les études sur ces sujets sont postérieures aux papiers de Bertrand ou
Poincaré).
Et j’avoue avoir énormément de mal à suivre les exemples qui montrent des paradoxes alors même qu’ils n’évoquent que des opérations non acceptables dans le contexte considéré : c’est comme si on voulait utiliser les règles d’un jeu pour réfléchir dans un autre, alors que celles-ci sont incompatibles (Essayez d’annoncer belote ou rebelote au cours d’une partie de bridge guindée !). Plus précisément, on ne peut utiliser des axiomes d’un système dans un autre sous le prétexte qu’ils sembleraient naturels.
Or, l’exemple de la mise au carré d’un intervalle probabilisé est doublement typique d’un tel problème : à la fois parce que les choses dépendent de l’espace de probabilité de référence lui-même – on ne peut raisonner de la même manière avec des éléments énumérables et des mesurables (même si la mesure n’est qu’implicite en termes de coordonnées continues ; et même si on réduit in fine les seconds aux premiers) – et parce que toute opération faisant varier l’homogénéité d’un espace continu ne peut être exploitée telle quelle sans appliquer en parallèle la correction ad hoc dans la mesure de probabilité (C’est d’ailleurs déjà vrai dans le cas dénombrable infini : on s’en tire en imposant la convergence, mais cela interdit que l’espace soit homogène) : c’est exactement comme si on utilisait l’addition relativiste des vitesses d’un côté, des compositions simples d’autres valeurs physiques à côté, et qu’on en déduise une incohérence, et donc la faillibilité des théories einsteiniennes (ce qui s’est d’ailleurs produit historiquement à maintes reprises au début du XXe siècle). Dans les deux cas, si l’on ne respecte pas les principes d’additivité de la structure (qui décrivent comment on associe somme de mesures à union d’ensembles), on ne peut tomber que sur des contre-vérités.
Si l’on prend pour support des éléments énumérables, l’usage habituelle des probabilités dans un tel cadre se décrit en termes de tirages aléatoires, avec implicitement le fait que deux tirages ont même probabilité s’ils se rapportent à des sous-ensembles de mêmes cardinaux : il n’y a aucune ambiguïté ici, même si l’on peut voir que chaque élément tiré peut être numéroté ou par les entiers successifs, ou par leurs carrés, cubes, suite de rationnels, etc. (La numérotation proprement dite suggère l’ordinalité, mais ne permet aucune conclusion sur des aspects cardinaux des ensembles de tirages).
Si l’on envisage maintenant des supports continus, parler de tirage est sans objet dans un cadre classique puisqu’on ne dispose pas des moyens pour reconstruire la certitude sur l’espace entier à partir des probabilités nécessairement non finies de chaque élément : c’est la raison pour laquelle les probabilités doivent alors être regardées comme mesures discrètes. Or, dans ce cas, toute dilatation, à échelle constante, introduit nécessairement une distorsion (linéaire) : mais cela ne pose pas de problème si l’on ne raisonne plus en termes de cardinaux mais de mesures (finies), et donc de longueurs d’intervalles.
Dans l’affaire, le paradoxe se situe bien au niveau de la représentation que l’on se fait des probabilités pour raisonner dessus : si l’on se résout à n’utiliser que ce qu’autorise l’axiomatique de Kolmogorov, ou une théorie bien ficelée, il n’y a aucune difficulté dès lors que les variables concernées sont convenablement fixées.
Retour au présent
Et le sujet est bien sûr brûlant dans la crise du covid-19,
puisque le flou qui l’a accompagné depuis le début sur ses développements est
principalement dû à l’impossibilité de calibrer les paramètres épidémiologiques
qui hésitent autour des valeurs limites, non seulement du comportement
exponentiel, mais aussi sur son caractère : ni les virologues ni les
microbiologistes ne peuvent en effet assurer l’extinction des périodes de
contagiosité, que ce soit pour les symptomatiques semblant guéris que pour les
asymptomatiques complets non nécessairement immunisés sur du long terme (Et
rien que ce point, qui peut sembler de détail, permet de sauter de modèles
convergeant (du fait d’un taux de reproduction de base – coefficient sur
lequel se développe toutes les études épidémiologiques – fondé sur une
extinction systématique de la contagiosité après contagion puis immunité
acquise de manière tout aussi systématiquement) à des modèles de type de
Fibonacci, càd exponentiels et toujours saturant : ce qui fait dire à la
plupart des épidémiologistes que le covid-19 a beau être un coronavirus, ils se
comporte d’une manière différente de tous les virus déjà observés, et avec des
coefficients de modélisation hors normes).
Et tenter d’y voir clair est non seulement loin d’être vain, mais je dirais
même que c’est surtout dans les périodes difficiles, et qui peuvent s’avérer
lourdes de conséquences, qu’il est nécessaire de réfléchir, et, pour reprendre
le mot de Jean Dieudonné : « pour l’honneur de l’esprit humain ».
C’est tout pour
aujourd’hui…
J’ai bien conscience que tout cela manque d’unité, que certains points arrivent peut-être comme des cheveux sur la soupe, mais je n’ai pas le courage de tout reprendre à cette heure tardive, et je ne suis pas sûr de trouver du temps avant… un certain temps. Je vous poste donc tel quel mon texte, en l’espérant tout de même assez compréhensible…
Bonne nuit !
(1) Attention aux faux-amis techniques dans la traduction de Bangu, et qui en changent le sens : dans « If the argument of a scaling function is random in an interval, then the scaled value is random as well (in the scaled interval) », les termes « scaling/scaled » ne désignent pas un « objet scalaire » (les propriétés concernées s’appliquant d’ailleurs aussi bien à des objets vectoriels, d’ensembles ou de collections divers), mais une « mise à l’échelle », ce qui implique la linéarité de la transformation concernée, et donc la conservation de la propriété d’aléatoirité (et inclut donc toute conservation des propriétés probabilistes lors du changement de variables de référence (Sans devoir normaliser aussi la métrique pour rendre la transformation neutre à l’égard des axiomes de Kolmogorov).