Modélisation des écoulements turbulents
Support du TD Injecteur dans Fluent — RANS, k-ε et conditions aux parois
1 Objectifs du cours
1.1 Ce que vous devez savoir faire après cette séance
À l’issue du cours, vous devez être capables de :
- expliquer pourquoi le cas injecteur devient rapidement un problème de turbulence ;
- comprendre ce que fait réellement un calcul RANS dans Fluent ;
- interpréter le rôle du modèle \(k\)-\(\varepsilon\) sur le mélange d’espèces ;
- relier le traitement de paroi au maillage à travers \(y^+\) ;
- disposer d’une grille de lecture pour le TD n°5.
Idée directrice :
En CFD industrielle, on ne « choisit » pas un modèle de turbulence au hasard : il faut assurer la cohérence entre physique, modèle, maillage et post-traitement.
1.2 Le cas support : injecteur air–éthane
- Géométrie de type coude avec injection latérale d’éthane.
- Dans le TD, on étudie d’abord le mélange sans combustion.
- Le passage du laminaire au turbulent modifie fortement :
- l’étalement du jet,
- la vitesse de mélange,
- les profils de fraction massique,
- le rôle des parois.
Schéma de principe de l’injecteur étudié au TD
Question centrale du TD :
Comment le choix du modèle turbulent dans Fluent change-t-il la prédiction du mélange air–éthane ?
1.3 Dans le TD, que va-t-on comparer ?
Cas laminaire
- vitesses faibles ;
- mélange gouverné par la diffusion moléculaire ;
- profils d’espèces relativement raides ;
- base de comparaison indispensable.
Cas turbulent
- vitesses plus élevées ;
- fluctuations qui renforcent le mélange ;
- profils d’espèces plus étalés ;
- nécessité d’un modèle de turbulence et d’un traitement pariétal cohérent.
Lecture qualitative attendue sur les profils de fraction massique en sortie
2 Turbulence : pourquoi faut-il modéliser ?
2.1 Omniprésence de la turbulence
Quand un écoulement est-il turbulent ?
| Configuration | Critère |
|---|---|
| Écoulement externe le long d’une plaque | \(Re_x > 3 \times 10^5\) |
| Sillage derrière un obstacle | \(Re_d > 2 \times 10^4\) |
| Écoulement en conduite (\(D_h\)) | \(Re_{D_h} > 2\,000\) |
| Convection naturelle | \(Ra > 10^8 - 10^{10}\) |
En pratique industrielle : la plupart des écoulements internes et des mélanges rapides sont turbulents.
2.2 Les quatre caractéristiques d’un écoulement turbulent
- 1. Rotationnel
- La turbulence est intrinsèquement 3D et associée à des tourbillons qui s’étirent et interagissent.
- 2. Imprédictible
- Deux états initiaux très proches divergent rapidement : le détail instantané est chaotique.
- 3. Dissipatif
- L’énergie cinétique turbulente finit par être convertie en chaleur par la viscosité.
- 4. Diffusif
- La turbulence mélange très efficacement la quantité de mouvement, la chaleur et les espèces chimiques.
Pour le TD injecteur, la propriété la plus importante est la dernière :
la turbulence accroît fortement le mélange air–éthane.
Léonard de Vinci, ~1508 — première représentation des tourbillons turbulents
2.3 La cascade d’énergie de Kolmogorov : théorie K41 (Kolmogorov, 1941)
- L’énergie est injectée aux grandes échelles \(L\).
- Elle cascade vers des structures de plus en plus petites.
- La dissipation a lieu aux échelles de Kolmogorov \(\eta\) : \(\eta = \left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}, \qquad \frac{L}{\eta} \sim Re_L^{3/4}\)
Quand \(Re\) augmente, la séparation d’échelles devient énorme : il devient impossible de tout résoudre explicitement.
2.4 DNS, LES, RANS : que simule-t-on ?
RANS
On calcule un champ moyen et l’effet moyen de la turbulence.
C’est le compromis standard en CFD industrielle.
LES
Les grandes structures sont résolues, les petites modélisées.
Très instructif, mais encore coûteux pour l’ingénierie courante.
DNS
Toutes les échelles sont résolues.
Très précis, mais coût prohibitif sauf cas académiques simples.
2.5 Pourquoi Fluent utilise le plus souvent un modèle RANS
Dans un cas industriel de mélange :
- géométrie non triviale ;
- nombreuses mailles ;
- temps de calcul limité ;
- besoin d’une solution robuste ;
- intérêt principal porté sur les champs moyens.
Conclusion pratique :
Dans ce cours et dans le TD, nous adoptons une logique RANS.
| Modèle | Équations | Coût relatif |
|---|---|---|
| Longueur de mélange | 0 | ★ |
| Spalart-Allmaras | 1 | ★★ |
| \(k\)-\(\varepsilon\) | 2 | ★★ |
| \(k\)-\(\omega\) SST | 2 | ★★ |
| RSM | 7 | ★★★ |
| LES | filtrage | ★★★★ |
| DNS | aucun | ★★★★★ |
Pour un premier module de découverte de Fluent, le modèle \(k\)-\(\varepsilon\) constitue une base robuste et lisible.
3 Ce que fait RANS dans Fluent
3.1 La décomposition de Reynolds
Tout champ scalaire ou vectoriel est décomposé en :
- une partie moyenne ;
- une fluctuation autour de cette moyenne.
\[\vv{u} = \overline{\vv{u}} + \vv{u}'\]
Conséquence :
- on ne cherche plus à calculer chaque tourbillon instantané ;
- on cherche à prédire le comportement moyen de l’écoulement.
\[k = \tfrac{1}{2}\,\overline{(u'^2 + v'^2 + w'^2)}\]
Décomposition d’un signal turbulent en moyenne et fluctuation
RMS : \(u_{rms} = \sqrt{\overline{u'^2}}\)
L’énergie cinétique du mouvement moyen est distincte de l’énergie cinétique turbulente.
3.2 Équations RANS : le problème de fermeture
\[ \pd{(\rho\,\overline{u}_i)}{t} + \pd{(\rho\,\overline{u}_i\,\overline{u}_j)}{x_j} = -\pd{\bar{P}}{x_i} + \pd{}{x_j}\!\left[\mu\,\pd{\overline{u}_i}{x_j} - \rho\,\overline{u_i' u_j'}\right] + F_i \]
Ce qui apparaît après moyennage :
les contraintes de Reynolds \[ \tau_{ij} = -\rho\,\overline{u_i' u_j'} \]
Elles traduisent l’effet moyen des fluctuations turbulentes sur l’écoulement moyen.
Problème de fermeture :
les équations moyennées introduisent de nouvelles inconnues.
Il faut donc un modèle de turbulence pour fermer le système.
C’est précisément le rôle des modèles RANS implémentés dans Fluent.
3.3 Hypothèse de Boussinesq : l’idée-clé
Analogie avec un fluide newtonien :
\[ \tau_{ij}^{lam} = \mu \left(\pd{\bar{u}_i}{x_j} + \pd{\bar{u}_j}{x_i}\right) \]
\[ -\rho\,\overline{u_i' u_j'} = \mu_t \left(\pd{\bar{u}_i}{x_j} + \pd{\bar{u}_j}{x_i}\right) - \tfrac{2}{3}\,\rho\,k\,\delta_{ij} \]
Interprétation :
- \(\mu\) : viscosité moléculaire ;
- \(\mu_t\) : viscosité turbulente ;
- \(\mu_t\) dépend de l’écoulement et doit être modélisée.
Idée essentielle du cours :
le modèle de turbulence sert d’abord à fournir une estimation de \(\mu_t\).
Cette hypothèse est robuste, économique, mais suppose une forme de diffusion turbulente isotrope.
3.4 De \(\mu_t\) au modèle \(k\)-\(\varepsilon\)
\(k\)
Énergie cinétique turbulente.
Elle mesure l’intensité de l’agitation turbulente.
\(\varepsilon\)
Taux de dissipation de cette agitation.
Elle renseigne sur la vitesse à laquelle les petites structures dissipent l’énergie.
\[\mu_t = C_\mu\,\rho\,\frac{k^2}{\varepsilon}\]
Le modèle \(k\)-\(\varepsilon\) est donc une façon pratique de calculer \(\mu_t\) à partir de deux équations de transport supplémentaires.
3.5 Le modèle à deux équations \(k\)-\(\varepsilon\)
Équation pour \(k\)
\[ \rho\pd{k}{t} + \rho\,\bar{u}_j\pd{k}{x_j} = \pd{}{x_j}\!\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_k}\right)\pd{k}{x_j}\right] + P_k - \rho\varepsilon \]
Équation pour \(\varepsilon\)
\[ \rho\pd{\varepsilon}{t} + \rho\,\bar{u}_j\pd{\varepsilon}{x_j} = \pd{}{x_j}\!\left[\left(\mu+\frac{\mu_t}{\sigma_\varepsilon}\right)\pd{\varepsilon}{x_j}\right] + C_1\frac{\varepsilon}{k}P_k - C_2\rho\frac{\varepsilon^2}{k} \]
Lecture physique :
- production : le cisaillement alimente la turbulence ;
- diffusion : la turbulence se transporte dans l’espace ;
- dissipation : les petites échelles convertissent l’énergie en chaleur.
| \(C_\mu\) | \(\sigma_k\) | \(\sigma_\varepsilon\) | \(C_1\) | \(C_2\) |
|---|---|---|---|---|
| 0.09 | 1.0 | 1.3 | 1.44 | 1.92 |
Ce modèle est robuste, peu coûteux et adapté à un premier apprentissage de Fluent.
3.6 Pourquoi le mélange d’espèces change en turbulent
Les équations de transport des espèces ont la même logique que les équations de transport des scalaires.
\[ \pd{(\rho\,\overline{\phi})}{t} + \nabla\cdot(\rho\,\overline{\vv{u}}\,\overline{\phi}) = \nabla\cdot\!\left[\rho\,(D + D_t)\,\nabla\overline{\phi}\right] \]
où \(D_t\) représente la diffusivité turbulente.
Conséquence pratique :
Quand le modèle prédit une forte viscosité turbulente \(\mu_t\), il prédit aussi un mélange turbulent plus efficace.
C’est pour cela que, dans le TD, les profils de fraction massique d’éthane deviennent bien plus étalés en turbulent qu’en laminaire.
3.7 Variantes du modèle \(k\)-\(\varepsilon\)
Standard
- robuste ;
- très diffusif ;
- bon choix de départ pour un premier calcul.
RNG
- améliore certains cas à forts gradients ;
- souvent meilleur en recirculation.
Realizable
- meilleur comportement sur séparations et contraintes de réalisabilité ;
- souvent bon compromis industriel.
Pour le TD n°5, on conserve volontairement le \(k\)-\(\varepsilon\) standard afin de privilégier la lisibilité de la démarche et la comparaison des résultats.
3.8 Ce qu’il faudra regarder dans le TD
- le champ de vitesse ;
- les contours de fraction massique d’éthane ;
- les profils sur plusieurs sections ;
- les bilans matières globaux ;
- l’évolution de l’échelle de Kolmogorov ;
- l’effet éventuel d’un changement de traitement de paroi.
Un bon calcul CFD n’est pas seulement un calcul qui converge : c’est un calcul dont les ordres de grandeur et les bilans sont cohérents.
Fraction massique de C\(_2\)H\(_6\) — RANS \(k\)-\(\varepsilon\)
Fraction massique de C\(_2\)H\(_6\) — LES
4 Parois, maillage et \(y^+\)
4.1 Pourquoi la zone proche paroi est critique
Zones de la couche limite turbulente
Près de la paroi, les gradients sont très forts.
On définit les variables adimensionnées :
\[y^+ = \frac{u_\tau y}{\nu}, \qquad u^+ = \frac{\bar{u}}{u_\tau}\]
avec \[u_\tau = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}\]
Trois régions :
- sous-couche visqueuse : \(y^+ < 5\) ;
- zone tampon : \(5 < y^+ < 30\) ;
- zone logarithmique : \(30 < y^+ < 300\).
4.2 Loi de paroi : ce qu’il faut retenir
Dans la zone logarithmique :
\[u^+ = \frac{1}{\kappa}\ln y^+ + B\]
Cette relation permet de relier la vitesse au cisaillement pariétal sans résoudre toute la sous-couche visqueuse.
Les wall functions ne sont crédibles que si le premier point de maillage se situe dans la zone où la loi de paroi est pertinente.
Profil logarithmique — Schlichting, 1979
si le premier point de calcul est situé dans la zone logarithmique, la loi de paroi fournit un lien entre la vitesse locale et le cisaillement pariétal. On peut ainsi éviter de résoudre explicitement la sous-couche visqueuse.
4.3 SWF ou EWT ? Deux logiques de traitement pariétal
Comparaison des stratégies de maillage pariétal
SWF — Standard Wall Functions
- on s’appuie sur la loi de paroi ;
- on accepte un maillage plus grossier ;
- on vise typiquement \(30 < y^+ < 300\)
EWT — Enhanced Wall Treatment
- on raffine davantage près de la paroi ;
- on résout mieux la zone proche mur ;
- on vise typiquement \(y^+ < 5\)
4.5 Ce que le TD vous demandera sur les parois
Démarche attendue dans Fluent :
- lancer le calcul turbulent avec wall functions ;
- visualiser le champ \(y^+\) ;
- vérifier si la plage de validité est respectée ;
- adapter le maillage si nécessaire ;
- relancer avec Enhanced Wall Treatment ;
- comparer les deux approches.
Le traitement de paroi n’est pas un simple réglage logiciel : c’est une hypothèse de modélisation qui impose un maillage cohérent.
Pièges fréquents :
- utiliser SWF avec \(y^+ < 5\) ;
- raffiner le maillage sans changer le traitement pariétal ;
- interpréter un résultat sans vérifier \(y^+\) ;
- oublier que le post-traitement doit inclure les bilans et pas seulement les images.
5 Synthèse pour le TD n°5
5.1 Grille de lecture d’un calcul turbulent dans Fluent
Chaîne logique à retenir :
- calculer un ordre de grandeur de Reynolds ;
- identifier si le cas doit être traité en laminaire ou turbulent ;
- en turbulent, choisir un modèle RANS robuste ;
- comprendre que \(\mu_t\) gouverne aussi le mélange des espèces ;
- vérifier la cohérence modèle / maillage / paroi via \(y^+\) ;
- contrôler la convergence, les bilans et les profils.
Pour ce TD :
- le modèle \(k\)-\(\varepsilon\) standard constitue la référence ;
- la comparaison laminaire / turbulent doit être argumentée physiquement ;
- le traitement pariétal doit être justifié par les valeurs de \(y^+\).
Le logiciel produit toujours un champ.
La question n’est pas seulement « ai-je un résultat ? », mais :
ce résultat est-il physiquement crédible ?
4.4 Comment placer la première maille
Méthode pratique :